Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（Ⅰ）求證：A，B，C三點共線，并求

| AC |

| BA |

的值；
（Ⅱ）已知A(1，cosx)，B(1+cosx，cosx)，x∈[-

π

2

，

π

2

]，且函數(shù)f(x)=

OA

•

OC

+(2m-

2

3

)•|

AB

|的最小值為

1

2

，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量共線的條件證明A，B，C三點共線，再由兩向量之間的數(shù)乘關系得出求

| AC |

| BA |

的值；
（Ⅱ）求出相關的向量的坐標，利用數(shù)量積得出函數(shù)的解析式，此是一個三角形函數(shù)，故由三角函數(shù)的最值建立關于參數(shù)的方程求實數(shù)m的值

解答：解：（Ⅰ）∵

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

∴

BC

=

1

3

BA

又因為

BC

，

BA

有公共點B，
∴A，B，C三點共線（4分）
∵

AC

=2

CB

∴

| AC |

| BA |

=

2

3

（6分）
（Ⅱ）∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），
∴

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=

1

3

(1，cosx)+

2

3

(1+cosx，cosx)=(1+

2

3

cosx，cosx)（8分）
∴

OA

•

OC

=1+

2

3

cosx+cos2x又∵|

AB

|=cosx
∴f(x)=

OA

•

OC

+(2m-

2

3

)•|

AB

|=cos2x+2mcosx+1（10分）
設cosx=t∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴t∈[0，1]
∴y=t²+2mt+1=（t+m）²+1-m²
當-m＜0即m＞0時，當t=0有ymin=1≠

1

2

當0≤-m≤1即-1≤m≤0時，當t=-m有ymin=1-m2=

1

2

∴m=-

2

2

當-m＞1即m＜-1時，當t=1有ymin=2+2m=

1

2

∴m=-

3

4

（舍去）
綜上得m=-

2

2

．（15分）

點評：本題考查平面向量綜合題，以及三角的最值，解答本題，關鍵是熟練掌握向量的運算性質，加法，減法，數(shù)乘及數(shù)量積，且理解并掌握它們的幾何意義，本題中第二小題把最值問題轉化到三角函數(shù)中來求，給出了一個向量與三角結合的樣板，題后應總結一下這兩個不同領域知識結合使用的規(guī)律．本題運算量較大，易運算出錯，做題時要注意認真運算．