Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R的圖象與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與g（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ） 判斷曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1公共點的個數(shù)．
（Ⅲ） 設(shè)a＜b，比較

f(a)+f(b)

2

與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用反函數(shù)的定義可得g（x）=lnx，再利用直線y=kx+1與g（x）=lnx相切于點P（x₀，y₀），可得

kx0+1=lnx0 k=g′(x0)= 1 x0

，解出即可．
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)的單調(diào)性，又0是函數(shù)h（x）的零點，即可得出．
（III）通過作差和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=e^x（x∈R）的反函數(shù)是y=lnx（x＞0），
∴g（x）=lnx．
設(shè)直線y=kx+1與g（x）=lnx相切于點P（x₀，y₀），
則

kx0+1=lnx0 k=g′(x0)= 1 x0

，解得

x0=e2 k=e-2

．
∴k=e^-2．
（Ⅱ）  證明：曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1有唯一公共點，過程如下．
令h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1=ex-

1

2

x2-x-1，x∈R，則h'（x）=e^x-x-1，
h'（x）的導(dǎo)數(shù)h''（x）=e^x-1，且h（0）=0，h'（0）=0，h''（0）=0，
當(dāng)x＜0時，h''（x）＜0⇒y=h'（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時h''（x）＞0⇒y=h'（x）單調(diào)遞增⇒y=h'（x）≥h'（0）=0，
∴y=h（x）在R上單調(diào)遞增，最多有一個零點，
而0是h（x）的零點．
∴曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1只有唯一公共點（0，1）．
（Ⅲ）∵

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)•f(a)+(b-a-2)•f(b)

2•(b-a)

=

(b-a+2)•ea+(b-a-2)•eb

2•(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)•eb-a

2•(b-a)

•ea．
令g（x）=x+2+（x-2）•e^x，x＞0，則g'（x）=1+（1+x-2）•e^x=1+（x-1）•e^x．
g'（x）的導(dǎo)函數(shù)g''（x）=（1+x-1）•e^x=x•e^x＞0，且g'（0）=0．
因此g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，
∴在（0，+∞）上g（x）＞0，∴

(b-a+2)+(b-a-2)•eb-a

2•(b-a)

•ea＞0
∴當(dāng)a＜b時，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“作差法”比較兩個數(shù)的大小、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了知識的應(yīng)用能力和推理能力、計算能力，特別是通過二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．