Question

已知F₁、F₂分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，曲線C是坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l交曲線C于x軸上方兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，設(shè)=
（I）若λ∈[2，4]，求直線L的斜率k的取值范圍；
（II）求證：直線MQ過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

解：（I）令P（x₁，y₁），，Q（x₂，y₂），由題意，可設(shè)拋物線方程為 y²=2px
由橢圓的方程可得F₁ （-1，0），F(xiàn)₂ （1，0 ）故p=2，曲線C的方程為 y²=4x，
由題意，可設(shè)PQ的方程 x=my-1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲線C的方程 化簡(jiǎn)可得 y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4． 又 =，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，
又 =λ++2=4m²．λ∈[2，4]，∴2+≤λ+≤4+，≤m²≤，
∴≤≤∴直線L的斜率k的取值范圍為[，]．
（II）由于P，M關(guān)于X軸對(duì)稱，故M（x₁，-y₁），，
∵-=+==0，
∴M、Q、F₂三點(diǎn)共線，故直線MQ過(guò)定點(diǎn) F₂ （1，0 ）．
分析：（I）求出曲線C的方程，把PQ的方程 x=my-1 （m＞0）代入曲線C的方程 化簡(jiǎn)可得 y²-4my+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系 及 =，可得 =λ++2=4m²，據(jù)λ∈[2，4]，求得直線L的斜率 的范圍．
（II）根據(jù)-=0，可得 M、Q、F₂三點(diǎn)共線，故直線MQ過(guò)定點(diǎn) F₂ （1，0 ）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)，三點(diǎn)共線的條件，根據(jù)題意，得到2+≤λ+≤4+，是解題的關(guān)鍵．