Question

若f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx+2009^x，那么方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   無(wú)窮多個(gè)

Answer 1

C
分析：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx+2009^x，為增函數(shù)，x→0⁺，lnx→-∞，2009^x→1，可判斷y軸右側(cè)有唯一零點(diǎn)，同理可判斷左側(cè)的情況，再結(jié)合f（x）是R上的奇函數(shù)，即可．
解答：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx+2009^x，為增函數(shù)，
且x→0⁺，lnx→-∞，2009^x→1，
∴函數(shù)f（x）=lnx+2009^x在y軸右側(cè)有唯一零點(diǎn)，即x＞0時(shí)，f（x）=0有唯一實(shí)根；
又∵f（x）=lnx+2009^x是奇函數(shù) 所以x＜0時(shí)函數(shù)在y軸左側(cè)有唯一零點(diǎn)，從而有x＜0時(shí)f（x）=0有唯一實(shí)根；
又f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（x）必過(guò)（0，0），即f（0）=0
所以總共3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分類討論（x＞0與x＜0及x=0），用趨近的數(shù)學(xué)思想判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，屬于中檔題．