Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D，E，F(xiàn)分別是BC，PB，CA的中點．
（1）證明：PC∥平面DEF；
（2）證明：平面PBF⊥平面PAC；
（3）若PC=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由D，E，分別是BC，PB的中點，得DE∥PC，由此能證明PC∥平面DEF．
（2）先根據(jù)PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再結(jié)合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，進而證明平面PBF⊥平面PAC．
（3）直接根據(jù)D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點，把所求體積進行轉(zhuǎn)化；轉(zhuǎn)化為

1

2

V_P-BDF即可求出結(jié)論．

解答： （1）證明：在△PBC中，∵D，E，分別是BC，PB的中點，
∴DE∥PC，
∵PC不包含于平面DEF，DE?平面DEF，
∴PC∥平面DEF．
（2）證明：∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由條件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（3）解：∵D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=

1

2

V_P-BDF
=

1

2

×

1

3

×S_△BDF•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

S_△ABC•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2×

3

2

×2
=

3

12

．

點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定以及棱錐體積的求法．棱錐體積的求法常用轉(zhuǎn)化思想，變?yōu)橐浊蟮膸缀误w的體積，考查計算能力．