Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實根；

（2）記在區(qū)間內(nèi)的實根為，函數(shù)，若方程在區(qū)間有兩不等實根，證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點定理即可得證；

（2）先理解題意，為取小函數(shù)，先確定函數(shù)在，的單調(diào)性，

再將證明命題轉(zhuǎn)化為證明命題，即證，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

（1）證明：，定義域為，而．故，即在上單調(diào)遞增，

又，而在上連續(xù)，故在區(qū)間有且僅有唯一實根．

（2）由（1）知，當(dāng)時，，且存在，使得

，故，

當(dāng)時，，因而單增；當(dāng)時，，因而遞減；則． 要證：，只要證 ，因為 ，只要證，即證， 而在上遞減，故可證，又由，即證，即，

記，，

記，當(dāng)時，；時，故，，從而，因此，

即單增，從而時，，即，

故，所以，

故命題得證．