定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）   求證：f(0)=1；

（2）   求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；

（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解 （1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0時，f(x)>1>0，當(dāng)x<0時，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0時，f(0)=1>0

∴對任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

 ∴

 ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函數(shù)

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上遞增

∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<3

練習(xí)冊系列答案
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11、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2009）的值是（　�。�

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13、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，則f（508）=
0
．

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定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列四個命題：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要條件；
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件；
③函數(shù)f（x）=ax2+bx（x∈R）為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)的必要條件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命題的序號是
①③
①③
．（把真命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2011）=
-1
-1
．

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