Question

已知函數(shù)f(x)=x³-x²+3，x∈[-1，t]（t＞-1），函數(shù)g(t)=(t-2)²，t＞-1。
（Ⅰ）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大、最小值；
（Ⅱ）求證：對(duì)于任意的t＞-1，總存在x₀∈(-1，t)，使得x=x₀是關(guān)于x的方程f′(x)=g(t)的解；并就k的取值情況討論這樣的x₀的個(gè)數(shù)。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/201106081646296861103.gif" border=0>，
由或x＜0；由，
所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f(x)在（-1，0）上遞增，在（0，t）上遞減，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/20110608164629717993.gif" border=0>，f(0)=3，，而f(0)＜f(t)＜f(2)，
所以，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值；
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值f(0)=3。
（Ⅱ）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/201106081646297801006.gif" border=0>，所以，
令，
從而把問題轉(zhuǎn)化為證明方程在上有解，并討論解的個(gè)數(shù)。
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/201106081646298891320.gif" border=0>，，
所以 ①當(dāng)t＞5或-1＜t＜2時(shí)，，所以p(x)=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②當(dāng)2＜t＜5時(shí)，p(-2)＞0且p(t)＞0，但由于，所以p(x)=0在（-2，t）上有解，且有兩解；
③當(dāng)t=2時(shí)，或x=2，所以p(x)=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
④當(dāng)t=5時(shí)，或x=3，
所以p(x)=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3；
綜上所述, 對(duì)于任意的t＞-1，總存在，滿足，且當(dāng)t≥5或-1＜t≤2時(shí)，有唯一的適合題意；當(dāng)2＜t＜5時(shí)，有兩個(gè)適合題意。