Question

20．已知函數f（x）=x²+（2m-1）x-mlnx．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）的極值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）若對任意m∈（2，3）及x∈[1，3]時，恒有mt-f（x）＜1成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；
（2）求出函數的導數，通過討論m的范圍，確定導函數的符號，從而求出函數的單調區(qū)間即可；
（3）問題等價于mt-1＜f（x）_min，通過討論m 的范圍，求出t的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當m=1時，$f（x）={x^2}+x-lnx，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，解得x=-1（舍去），$x=\frac{1}{2}$，
在$（{0，\frac{1}{2}}）$上遞減，在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上遞增，所以f（x）的極小值為$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{3}{4}+ln2$．
（2）$f'（x）=2x+（{2m-1}）-\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}+（{2m-1}）x-m}}{x}$，令f'（x）=0可得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=-m$．
①當m≥0時，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上單調遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調遞增．
②當$-\frac{1}{2}＜m＜0$時，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{-m，\frac{1}{2}}）$上單調遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，-m）和$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調遞增．
③當$m=-\frac{1}{2}$時，由$f'（x）=\frac{{2{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{x}≥0$可得f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
④當$m＜-\frac{1}{2}$時，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，-m}）$上單調遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）得在$（{0，\frac{1}{2}}）$和（-m，+∞）上單調遞增．
（3）由題意可知，對?m∈（2，3），x∈[1，3]時，恒有mt-1＜f（x）成立，等價于mt-1＜f（x）_min，
由（2）知，當m∈（2，3）時，f（x）在[1，3]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=2m，所以原題等價于?m∈（2，3）時，恒有mt-1＜2m成立，即$t＜2+\frac{1}{m}$．
在m∈（2，3）時，由$\frac{7}{3}＜2+\frac{1}{m}＜\frac{5}{2}$，故當$t≤\frac{7}{3}$時，mt-1＜2m恒成立，∴$t≤\frac{7}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．