Question

函數f（x）的定義域為D，滿足：①f（x）在D內是單調函數；②存在[

a

2

，

b

2

]⊆D，使得f（x）在[

a

2

，

b

2

]上的值域為[a，b]，那么就稱函數y=f（x）為“優(yōu)美函數”，若函數f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“優(yōu)美函數”，則t的取值范圍為（　�。�

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，

  1

  4

  ）
• D、（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據復合函數的單調性，先判斷函數f（x）的單調性，然后根據條件建立方程組，轉化為一元二次方程根的存在問題即可得到結論．

解答： 解：若c＞1，則函數y=c^x-t為增函數，y=log_cx，為增函數，∴函數f（x）=log_c（c^x-t）為增函數，
若0＜c＜1，則函數y=c^x-t為減函數，y=log_cx，為減函數，∴函數f（x）=log_c（c^x-t）為增函數，
綜上：函數f（x）=log_c（c^x-t）為增函數，
若函數f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“優(yōu)美函數”，
則

f( a 2 )=a f( b 2 )=b

，即

ca-c a 2 +t=0 cb-c b 2 +t=0

，
即c

a

2

，c

b

2

是方程x²-x+t=0上的兩個不同的正根，
則

△=1-4t＞0 t＞0

，
解得0＜t＜

1

4

，
故選：D

點評：本題主要考查與指數函數和對數函數有關的信息題，判斷函數的單調性是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．