Question

【題目】已知橢圓，動(dòng)圓：（圓心為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)），過原點(diǎn)作兩條射線與圓相切，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，且切線長最小值時(shí),.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）判斷的面積是否為定值，若是，則求出該值；不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】

（Ⅰ）由，所以當(dāng)OP最小時(shí)切線長OT最小. 又切線長取最小值時(shí),.，所以，，此時(shí)，再建立OP關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的最值情況可得.

（Ⅱ）先計(jì)算切線OM（或ON）斜率不存在時(shí)的面積，再計(jì)算OM、ON斜率都存在時(shí)設(shè)MN方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求MN，求O到直線MN的距離，把的面積用k,m表示，再結(jié)合OM,ON與圓相切找出k,m的關(guān)系，化簡可得.

（Ⅰ）

,又 在橢圓上， 得,

橢圓C的方程為：

（Ⅱ）解：（1）當(dāng)切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時(shí)，易得，代入橢圓方程得：說明圓P同時(shí)也與x軸相切，此時(shí)M、N分別為長、短軸一個(gè)端點(diǎn)，則的面積為

（2）當(dāng)切線OM、ON斜率都存在時(shí)，設(shè)切線方程為：

由得：

整理得：

由韋達(dá)定理得：

設(shè)，由于點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，直線的斜率存在，

不妨設(shè)直線的方程為：

將與橢圓方程聯(lián)立可得：

代入有：整理得：

又

而原點(diǎn)O到直線MN的距離為

所以的面積為定值.