Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的零點；

（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，

求的取值范圍；

（3）已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.

 

Answer 1

【答案】

（1）① 當(dāng)時，函數(shù)有1個零點： ② 當(dāng)時，函數(shù)有2個零點： ③ 當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點： ④ 當(dāng)時，函數(shù)有三個零點：（2）（3）探究詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表達(dá)式，在分類求出g（x）=0的解即可.

（2）對函數(shù)求導(dǎo)，，對其分母構(gòu)造函數(shù)，則=0由有一根在內(nèi)，另一個在區(qū)間外，可得,即,解出a即可.

（3）由（2）可知存在 ，結(jié)合已知條件，可得函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 所 的分子的值小于等于0，其相應(yīng)的判別式小于等于0，在結(jié)合已知可證得 即可.

試題解析：（1），

① 當(dāng)時，函數(shù)有1個零點： 1分

② 當(dāng)時，函數(shù)有2個零點： 2分

③ 當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點： 3分

④ 當(dāng)時，函數(shù)有三個零點：

4分

（2） 5分

設(shè)，的圖像是開口向下的拋物線.

由題意對任意有兩個不等實數(shù)根，

且

則對任意,即, 7分

又任意關(guān)于遞增,,

故

所以的取值范圍是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 10分

從而即 11分

所以

由知 13分

即對任意

故函數(shù)在上是減函數(shù). 14分

考點：1.函數(shù)的零點；2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.單數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.