Question

 

在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.

（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）記，證明.

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。

（I）證明：由題設(shè)可知，，，，，

。

從而，所以，，成等比數(shù)列。

（II）解：由題設(shè)可得

所以

            

             .

由，得 ，從而.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?sub>，。

（III）證明：由（II）可知，，

以下分兩種情況進(jìn)行討論：

（1）   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m

若，則，

若，則

     

      .

所以，從而

（2）   當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)。

所以，從而

綜合（1）和（2）可知，對任意有