Question

已知實系數(shù)一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的兩個實根為x₁、x₂，并且0＜x₁＜2，x₂＞2，則

b

a-1

的取值范圍是（　�。�

• A．（-1，-

  1

  3

  ）
• B．（-3，-1）
• C．（-3，-

  1

  2

  ）
• D．（-3，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，結(jié)合對應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到 然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

b

a-1

的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數(shù)為1＞0，
故函數(shù)f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，
則

f(0)＞0 f(2)＜0

即

1+a+b＞0 3a+b+7＜0

，其對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：
則

b

a-1

表示陰影區(qū)域上一點與M（1，0）連線的斜率
由題意可得A（-3，2）
由圖可知

b

a-1

∈（-3，-

1

2

）
故選C

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到 解答本題的關(guān)鍵．