Question

橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形，其圖形不一樣，但它們都可以用平面截對(duì)頂圓錐面得到，它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)，即離心率e，定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一，應(yīng)該如何解釋這種現(xiàn)象呢？

Answer 1

思路:三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一.探究:我們知道，橢圓時(shí)離心率e越大，橢圓越扁；雙曲線時(shí)離心率e越大，雙曲線開(kāi)口越大.隨著e的增大，橢圓越變?cè)奖�，但左半部分開(kāi)口越來(lái)越大，左頂點(diǎn)離l越來(lái)越近，而右頂點(diǎn)離F點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)；當(dāng)e趨近于1時(shí)，左頂點(diǎn)趨近于F與l間的中點(diǎn)，而右頂點(diǎn)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處；當(dāng)e=1時(shí)，我們可以大膽地認(rèn)為右頂點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)曲線變?yōu)閽佄锞�；當(dāng)e＞1時(shí)，開(kāi)口越來(lái)越大，右頂點(diǎn)超過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)處并開(kāi)始返回，此時(shí)曲線變?yōu)殡p曲線兩支，或認(rèn)為雙曲線兩支無(wú)限延伸交于無(wú)窮遠(yuǎn)處，如圖3-3-3.

                                                        圖3-3-3

于是我們可以猜想：三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以，圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一,這是一種無(wú)限的思想.

因?yàn)轫旤c(diǎn)（曲線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）如A₁是圓錐曲線上的點(diǎn)，所以滿足=e，當(dāng)e→1時(shí)，A₁向中點(diǎn)靠近；當(dāng)e=1時(shí)，A₁位于中點(diǎn)；當(dāng)e→＋∞時(shí)，A₁向N靠近.這里A₁只是的內(nèi)分點(diǎn)，其實(shí)滿足=e還有一個(gè)外分點(diǎn)，即另一頂點(diǎn)A₂，滿足=－e.當(dāng)e＜1時(shí)，圓錐曲線為橢圓，所以它的外分點(diǎn)A₂位于NF的延長(zhǎng)線上；當(dāng)e→1時(shí)，A₂離F點(diǎn)越遠(yuǎn)；當(dāng)e=1時(shí)，外分點(diǎn)不存在，或者我們就可以理解為A₂位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)；當(dāng)e＞1時(shí)，圓錐曲線為雙曲線，外分點(diǎn)A₂位于NF的反向延長(zhǎng)線上；e→＋∞時(shí)，A₂從左側(cè)向N靠近.

    這也揭示了為什么橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，及它們之間的區(qū)別，你可以由此進(jìn)一步理解圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性.