Question

橢圓

x2

4

+y2=1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
與橢圓的方程聯(lián)立距離解得第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），再利用內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．

解答：解：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．
設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
聯(lián)立

y=kx x2 4 +y2=1

，
化為（1+4k²）x²=4，取第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），
解得x=

2

1+4k2

，∴y=

2k

1+4k2

．
∴內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy=4×

4k

1+4k2

=

16

1 k +4k

≤

16

2 1 k •4k

=4．當(dāng)且僅當(dāng)k=

1

2

上取等號(hào)．
故橢圓

x2

4

+y2=1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的對(duì)稱(chēng)性、內(nèi)接矩形的面積的最大值問(wèn)題、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．