Question

一動(dòng)圓與圓A：（x+5）²+y²=1和圓B：（x-5）²+y²=81都外切
（Ⅰ）動(dòng)圓的圓心M的軌跡為曲線C，求曲線C的軌跡方程
（Ⅱ）點(diǎn)P是曲線C上的點(diǎn)，且∠APB=120°，求△APB的面積．

Answer 1

分析：（I）求出兩圓圓心分別為A（-5，0）、B（5，0），半徑分別為r₁=1、r₂=9．由動(dòng)圓與圓A和圓B都外切，列式化簡(jiǎn)得|MB|-|MA|=8（常數(shù)），從而得到點(diǎn)M的軌跡是以為A、B焦點(diǎn)的雙曲線的左支．再利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念加以計(jì)算，即可求出曲線C的軌跡方程；
（II）根據(jù)余弦定理和雙曲線的定義列式，聯(lián)解得到|PA|•|PB|=12，再由三角形的面積公式加以計(jì)算，即可得到△APB的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵圓A方程為（x+5）²+y²=1，∴圓心為A（-5，0），半徑r₁=1，
同理可得圓B的圓心為B（5，0），半徑r₂=9．
設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，由于動(dòng)圓與圓A和圓B都外切，
可得|MA|=r+1且|MB|=r+9，得|MB|-|MA|=8（常數(shù)）．
因此，點(diǎn)M的軌跡是以為A、B焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則c=5，2a=8，可得a=4，b=

c2-a2

=3，
∴雙曲線的方程為

x2

16

-

y2

9

=1，得所求曲線C的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1(x≤-4)．
（Ⅱ）∵|PB|-|PA|=8，|AB|=10，且∠APB=120°
∴由余弦定理，得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos120°，
即|PA|²+|PB|²+|PA|•|PB|=100
又∵（|PA|-|PB|）²=|PA|²+|PB|²-2•|PA|•|PB|=64，
∴兩式相減，得|PA|•|PB|=12，
因此，△APB的面積為S=

1

2

|PA|•|PB|•sin120° =3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程，著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．