Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a）=2，g（x）=3^ax-4^x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，1]時，求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先確定a的值，再化簡函數(shù)g（x），即可得到結(jié)論；
（2）利用換元，結(jié)合配方法，可求g（x）的值域．

解答：解：（1）由f（a）=2得3^a=2，a=log₃2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=(3log32)x-4x=2^x-4^x=-（2^x）²+2^x．
∴g（x）=-（2^x）²+2^x．
（2）設2^x=t，∵x∈[-2，1]，
∴

1

4

≤t≤2．
∴g(t)=-t2+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

∴t=

1

2

，即x=-1時，g（x）有最大值為

1

4

；t=2，即x=1時，g（x）有最小值-2
∴g（x）的值域是[-2，

1

4

]．

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查配方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．