Question

已知對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），若方程f（x）=0有且僅有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為

2009

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得到函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對稱，得到函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于x=1對稱，即方程f（x）=0的根關(guān)于x=1對稱，得到方程f（x）=0的2009個(gè)實(shí)數(shù)解中有2008個(gè)成對，一個(gè)就是x=1，成對的兩個(gè)根之和等于2，得到所有根的和．

解答：解：∵對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），
∴函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對稱，
∴函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于x=1對稱，
∴方程f（x）=0的根關(guān)于x=1對稱，
∴方程f（x）=0的2009個(gè)實(shí)數(shù)解中有2008個(gè)成對，一個(gè)就是x=1，
∴成對的兩個(gè)根之和等于2，
∴所有的根的和是2×1004+1=2009
故答案為：2009

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查關(guān)于直線對稱的圖形的特點(diǎn)，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得到函數(shù)的零點(diǎn)是成對出現(xiàn)的，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．