Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=﹣an2+2an ， n∈N* ， 且a1=0.9，令bn=lg（1﹣an）；
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{ }各項和．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}滿足an+1=﹣an2+2an，n∈N*，

∴1﹣an+1= ，且a1=0.9，1﹣a1=0.1．

對1﹣an+1= 兩邊取對數(shù)可得：lg（1﹣an+1）=2lg（1﹣an），

∵bn=lg（1﹣an），∴bn+1=2bn．

∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為2，首項為﹣1

（2）解：由（1）可得：bn=﹣2n﹣1．

=﹣ ．

∴數(shù)列{ }各項和= = =﹣2

【解析】（1）數(shù)列{an}滿足an+1=﹣an2+2an ， n∈N* ， 變形為1﹣an+1= ，兩邊取對數(shù)可得：lg（1﹣an+1）=2lg（1﹣an），可得：bn+1=2bn ． 即可證明．（2）由（1）可得：bn=﹣2n﹣1. =﹣ ．再利用無窮等比數(shù)列的求和公式即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．