Question

【題目】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，虛軸長為2.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，（ 均異于左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) (2) 證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】試題分析：（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)題意列出兩個(gè)獨(dú)立條件： ，解方程組得（2）以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),等價(jià)于,根據(jù)向量數(shù)量積得，結(jié)合直線方程得，利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消y得，再利用韋達(dá)定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得當(dāng)時(shí), 的方程為,直線過定點(diǎn).

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 由已知得又,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè),聯(lián)立,得,有,,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),,即,,解得或.當(dāng)時(shí), 的方程為,直線過定點(diǎn),與已知矛盾；當(dāng)時(shí), 的方程為,直線過定點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件, 所以直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.