Question

在矩形中，已知，，E、F為的兩個三等分點，和交于點，的外接圓為⊙．以所在直線為軸，以中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．

（1）求以F、E為焦點，和所在直線為準線的橢圓的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）設點，過點P作直線與⊙交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

⑴當時，由已知得

，，，

因為是等差數(shù)列，所以，，成等差數(shù)列，所以，

即，所以，解得，或．…………………2分

當時，，對，成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列；

當時，，對，成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列；

所以數(shù)列的通項公式分別為或．…………………………………4分

⑵因為是等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列，所以，

即，化簡得，所以或，

當時，，所以，不滿足．

當時，若，則與矛盾，所以，因此．……………8分

則，因為按某種順序排列成等差數(shù)列，

所以有，或，或，

解之得或或．………………………………………………………12分

又因為，所以，所以，

由，得，即，

因為是正整數(shù)，所以的取值集合為．……………………………………16分