Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠ABC=60°，側(cè)棱長(zhǎng)為，若經(jīng)過(guò)AB₁且與BC₁平行的平面交上底面線段A₁C₁于點(diǎn)E．
（1）試求AE的長(zhǎng)；
（2）求證：A₁C⊥平面AB₁E．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁B交AB₁于點(diǎn)O，連接OE，根據(jù)三角形中位線定理得OE∥BC₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可得出BC₁∥平面AB₁E，從而有點(diǎn)E為線段A₁C₁的中點(diǎn)，從而得出AE的長(zhǎng)．
（2）由題意有△A₁B₁C₁為邊長(zhǎng)為a的正三角形，再結(jié)合點(diǎn)E為線段A₁C₁的中點(diǎn)得B₁E⊥A₁C₁又根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到B₁E⊥A₁C，最后利用在平面ACC₁A₁中由平幾知識(shí)結(jié)合線面垂直的判定可得A₁C⊥平面AB₁E．
解答：解：（1）AE的長(zhǎng)為：，即點(diǎn)E為線段A₁C₁的中點(diǎn)．理由如下：
連接A₁B交AB₁于點(diǎn)O，連接OE，則有OE∥BC₁，
又∵OE?平面AB₁E，BC₁?平面AB₁E，∴BC₁∥平面AB₁E--------（6分）
（2）由題意有△A₁B₁C₁為邊長(zhǎng)為a的正三角形，
又點(diǎn)E為線段A₁C₁的中點(diǎn)，∴B₁E⊥A₁C₁
又平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，∴B₁E⊥A₁C．------（10分）
在平面ACC₁A₁中由平幾知識(shí)可得A₁C⊥AE，又B₁E∩AE=E，
所以A₁C⊥平面AB₁E．------------------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面、線線垂直的判定及互相轉(zhuǎn)化，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．