Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其上的動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)焦點(diǎn)的距離最大為3，點(diǎn)M對F₁、F₂的張角最大為60°．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA•PB=PO²，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)橢圓中的最值和題意列出方程，求出a和c，再由它們的關(guān)系求出b，代入橢圓方程即可；
（2）由題意求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y）并寫出x、y的范圍，代入PA•PB=PO²化簡得x²-y²=2，可得y²=x²-2，利用y的范圍進(jìn)一步縮小x的范圍，由向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出

PA

•

PB

，由x的范圍求出

PA

•

PB

的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到一個(gè)焦點(diǎn)的距離最大為3，所以a+c=3，①
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M對F₁、F₂的張角最大為60°，所以此時(shí)M是短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，則a=2c，②
由①②得，a=2、c=1，b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得，A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（x，y），則x∈（-2，2），y∈（-

3

，

3

），
因?yàn)镻A•PB=PO²，所以

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
兩邊平方得，[（x+2）²+y²][（x-2）²+y²]=（x²+y²）²，
化簡得，x²-y²=2，則|x|≥

2

，y²=x²-2，
由y∈（-

3

，

3

）得，0≤x²-2＜3，解得2≤x²＜5，
又x∈（-2，2）且|x|≥

2

，所以2≤x²＜4

PA

•

PB

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²+y²-4=2x²-6，
由2≤x²＜4得，則-2≤2x²-6＜2，
所以

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓中的最值問題，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查化簡計(jì)算能力．