Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，4

2

是a₁和a₄的一個(gè)等比中項(xiàng)，a₂和a₃的等差中項(xiàng)為6，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由4

2

是a₁和a₄的一個(gè)等比中項(xiàng)，a₂和a₃的等差中項(xiàng)為6，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式代入a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法求得其前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="5nfm3kk" class="MathJye">4

2

是a₁和a₄的一個(gè)等比中項(xiàng)，
所以a1•a4=(4

2

)2=32．
由題意可得

a2•a3=32 a2+a3=12.

在為q＞1，所以a₃＞a₂．
解得

a2=4 a3=8

所以q=

a3

a2

=2．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．

（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ．S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和等差、等比中項(xiàng)的概念即錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題．