Question

先解答（1），再通過結構類比解答（2）：
（1）求證：tan（x+

π

4

）=

1+tanx

1-tanx

；
（2）設x∈R，a為非零常數(shù)，且f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

，試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結論．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),類比推理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用兩角和的正切函數(shù)化簡求解即可．
（2）猜想是周期函數(shù)，利用周期函數(shù)的定義證明即可．

解答： 解：（1）證明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanx•tan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．      …（6分）
（2）猜想f（x）是以4a為周期的周期函數(shù)．
證明：因為f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=f(x)，
所以f（x）是以4a為周期的周期函數(shù)．                        …（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，周期的應用，基本知識的考查．