Question

已知集合A={x|x²+bx+c=0}中兩個元素的平方和、乘積分別是5和2，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，C={x|x²-mx+2=0}，且有A∪B=A，A∩C=C，求a，m的取值范圍．

Answer 1

分析：由集合A中的兩個元素的平方和、乘積分別是5和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩元素，確定出集合A={1，2}，根據(jù)A∪B=A，A∩C=C，得到B為A的子集，C為A的子集，
當(dāng)B為A子集時，分四種情況考慮：（1）當(dāng)B為空集時，由根的判別式大于0，矛盾，故B不肯能為空集；（2）當(dāng)B={1}時，由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，求出方程組的解得到a的值；（3）當(dāng)B={2}時，由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，而此方程組無解，此情況不成立；（4）當(dāng)B={1，2}，由根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，求出方程組的解得到a的值；當(dāng)C為A子集時，同理也分為四種情況考慮，分別求出m的值及m的范圍，綜上，得到滿足題意a、m的值及范圍．

解答：解：集合A={x|x²+bx+c=0}中兩個元素是方程x²+bx+c=0的兩根，設(shè)為x₁，x₂．
由

x12+x22=5 x1•x2=2

，得到A={1，2}，
∵A∪B=A，A∩C=C，
∴B⊆A，C⊆A，
由B⊆A，B={x|x²-ax+（a-1）=0}，得：
（1）若B=∅，由△=（-a）²-4（a-1）=（a-2）²≥0，得到B=∅不可能；
（2）若B={1}，則有

1×1=a-1 1+1=a

，
解得：a=2；
（3）若B={2}，則有

2×2=a-1 2+2=a

，此時a無解；
（4）若B={1，2}時，則有

1+2=a 1×2=a-1

，
解得：a=3；
同理由C⊆A，C={x|x²-mx+2=0}，得：
（1）當(dāng)C=∅時，△=m²-8＜0，
解得：-2

2

＜m＜2

2

；
（2）當(dāng)C={1}或{2}時，由兩根之積不為2，舍去；
（3）當(dāng)C={1，2}時，則

1+2=m 1×2=2

，
解得：m=3，
綜上，a=2或a=3，m=3或-2

2

＜m＜2

2

．

點評：此題考查了交集、并集的運算，根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，以及集合間的包含關(guān)系，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．