Question

已知函數(shù)f（x）=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式進行展開，合并同類項，再用輔助角公式化簡得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再用三角函數(shù)的圖象與性質，可求函數(shù)f（x）的值域．
（II）由正弦函數(shù)的單調區(qū)間的公式，建立關于x的不等式并解之，得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z，再將其變成區(qū)間就是要求的函數(shù)單調增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos²x-1
=（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）+（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+cos2x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）…（3分）
由于x∈R，得2x+

π

4

∈R，故sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴函數(shù)的值域為y∈[-

2

，

2

]…（6分）
（Ⅱ）令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z，…（10分）
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ），k∈Z，…（12分）
注意：寫成[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z，也是正確答案．

點評：本題給出三角函數(shù)式，要我們通過化簡求其單調區(qū)間與值域，著重考查了三角恒等變形和三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于基礎題．