三角形ABC中，過中線AD的中點E作直線分別與邊AB和AC交于M、N兩點，若
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則4x+y的最小值是
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：
分析：根據(jù)向量的加法及條件，
AE
既可用
AB
，
ME
表示，又可用
AC
，
NE
表示，所以分別表示完之后便得到
ME
=(
1
4
-x)
AB
+
1
4
AC
和
NE
=
1
4
AB
+(
1
4
-y)
AC
，這時候，尋找一下
ME
和
NE
的關系，發(fā)現(xiàn)這兩個向量共線，根據(jù)共線向量基本定理便知道存在實數(shù)λ，使得
ME
=λ
NE
，帶人并化簡可得：(
1
4
-x)
AB
+
1
4
AC
=
1
4
AB
+(
1
4
-y)
AB
，很自然的會得到兩組等式：
1
4
-x=
1
4
λ和
1
4
=(
1
4
-y)λ，這樣便能解出x，y，然后帶人4x+y便得到關于λ的式子，可以看成關于λ的函數(shù)，求這個函數(shù)的最小值即可．
解答： 解：由題意得：
AE
=x
AB
+
ME
=
1
4
(
AB
+
AC
)．
∴
ME
=(
1
4
-x)
AB
+
1
4
AC
．
同理，
NE
=(
1
4
-y)
AC
+
1
4
AB
；∵
ME
與
NE
共線，∴存在實數(shù)λ，使
ME
=λ
NE
（λ＜0）；
∴(
1
4
-x)
AB
+
1
4
AC
=(
1
4
-y)λ
AC
+
1
4
λ
AB
；
∴
1
4
-x=
1
4
λ
1
4
=(
1
4
-y)λ
，∴
x=
1
4
(1-λ)
y=
1
4
(1-
1
λ
)
；
∴4x+y=1-λ+
1
4
（1-
1
λ
）=(-λ)+
1
(-4λ)
+
5
4
≥1+
5
4
=
9
4
；
∴4x+y的最小值是
9
4
．
故答案為
9
4
．
點評：考查向量的加法運算，共線及共面向量基本定理，基本不等式這幾個知識點．求解本題的關鍵是分別用
AB
，
ME
和
AC
，
NE
來表示向量
AE
，最后用λ分別表示x，y，轉化成求關于λ函數(shù)的最小值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)
(1+i)4
1-i
+2等于（　�。�
A、2-2iB、-2i
C、1-iD、2i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）過原點分別作函數(shù)f（x）與g（x）的切線，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或1＜a＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn=
n
2
（a1+an）（n∈N+）．
（1）求a3，a4，a5的值；
（2）求an的表達式；
（3）對于任意的正整數(shù)n≥2，求證：a1a2…an＞(2n+1)
n-1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的一系列對應值如下表：
x-
π
6
π
3
5π
6
4π
3
11π
6
7π
3
17π
6
y-24-24
（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間和對稱中心；
（3）若當x∈[0，
7π
6
]時，方程f（x）=m+1恰有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥PB；
（Ⅱ）求PB與面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）求異面直線PB與AC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某花店每天以每枝10元的價格從農場購進若干支玫瑰花，并開始以每枝20元的價格出售，已知該花店的營業(yè)時間為8小時，若前7小時內所購進的玫瑰花沒有售完，則花店對沒賣出的玫瑰花以每枝5元的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗，1小時內完全能夠把玫瑰花低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再購進玫瑰花）．該花店統(tǒng)計了100天內玫瑰花在每天的前7小時內的需求量n（單位：枝，n∈N*）（由于某種原因需求量頻數(shù)表中的部分數(shù)據(jù)被污損而無法看清），制成如下表格（注：x，y∈N*；視頻率為概率）．
前7小時內的需求量n14151617
頻數(shù)1020xy
（Ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）若花店每天購進16枝玫瑰花所獲得的平均利潤比每天購進17枝玫瑰花所獲得的平均利潤大，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AA1、BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA1、CB1的中點，AB=AC．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：平面B1DC⊥平面CBB1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一名箭手進行射箭訓練，箭手連續(xù)射2支箭，已知射手每只箭射中10環(huán)的概率是
1
4
，射中9環(huán)的概率是
1
4
，射中8環(huán)的概率是
1
2
，假設每次射箭結果互相獨立．
（1）求該射手兩次射中的總環(huán)數(shù)為18環(huán)的概率；
（2）求該箭手兩次射中的總環(huán)數(shù)為奇數(shù)的概率．

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