Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，求下列條件下數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n．
（1）Sn=2•5n-2；
（2）a₁=2，a_n+1=a_n+3n+2；
（3）a₁=1，an=

n-1

n

an-1(n≥2)；    
（4）a₁=1，a_n+1=3a_n+2．

Answer 1

分析：（1）在遞推式中取n=1可求首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1化簡整理可求a_n，然后驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立，若不成立，則通項(xiàng)公式要分寫；
（2）由給出的遞推式，采用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)給出的遞推式，可采用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（4）把給出的遞推式配方，然后構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列{a_n+1}，該數(shù)列是等比數(shù)列，求出a_n+1后即可得到a_n．

解答：解：（1）由Sn=2•5n-2．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2×5-2=8，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2•5n-2)-(2•5n-1-2)=8•5^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)此式成立，
所以an=8•5n-1；
（2）由a_n+1=a_n+3n+2．
則a_n+1-a_n=3n+2，a_n-a_n-1=3n-1（n≥2）．
又a₁=1，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（3n-1）+[3（n-1）-1]+[3（n-2）-1]+…+（3×2-1）+1
=3（2+3+4+…+n）-（n-1）+1=3×

(2+n)(n-1)

2

-n+2=

3n2+n-2

2

；
（3）由an=

n-1

n

an-1(n≥2)，且a₁=1≠0，
∴

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2），
則an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=

n-1

n

•

n-2

n-1

…

1

2

•1=

1

n

；
（4）由a_n+1=3a_n+2，得：a_n+1+1=3（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2≠0，
則

an+1+1

an+1

=3．
所以，數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
則an+1=2•3n-1，
所以，an=2•3n-1-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和及遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是求數(shù)列通項(xiàng)公式常見的題型，由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，一定要注意分類討論；對于遞推式是a_n+1=a_n+f（n）型的，常采用累加法求通項(xiàng)公式；是a_n+1=a_nf（n）型的遞推式，常采用累積法，而a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一定是構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列．此題是中檔題．