Question

18．已知函數f（x）的導函數為f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，且f（1）=2，則函數f（x）的最大值為（　　）

• A． $\frac{{e}^{3}}{2}$
• B． $\frac{e}{2}$
• C． $\sqrt{e}$
• D． 2e

Answer 1

分析 由xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，變形為（x²f（x））′=（lnx）′，可得f（x）=$\frac{lnx+C}{{x}^{2}}$，由于f（1）=2，可得C=2．f（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，（x＞0）．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：由xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，變形為（x²f（x））′=（lnx）′，
∴f（x）=$\frac{lnx+C}{{x}^{2}}$，
∵f（1）=2，∴C=2．
∴f（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，（x＞0）．
f′（x）=$-\frac{2（lnx+\frac{3}{2}）}{{x}^{3}}$，
當x＞${e}^{-\frac{3}{2}}$時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；當0＜x＜${e}^{-\frac{3}{2}}$時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．
∴當x=${e}^{-\frac{3}{2}}$時，函數f（x）取得最大值為f（${e}^{-\frac{3}{2}}$）=$\frac{{e}^{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、構造法，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于難題．