已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若存在x1，x2∈R，x1＜x2，且f'（x1）=f'（x2）=0，|x1|+|x2|=2．
（1）證明0＜a≤3；
（2）求實數(shù)b的取值范圍．

解：（1）求導(dǎo)，…（1分）
由f'（x1）=f'（x2）=0，x1、x2是方程f'（x）=0的兩實根
∴，
從已知，
∴|x1x2|≤1，即
∴|a|≤3，又a＞0
∴0＜a≤3…（6分）
（2）∵x1＜x2且
∴x1＜0＜x2|x1|+|x2|=-x1+x2=2
∴（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=4
代入韋達(dá)定理關(guān)系，得
∴b=-3a3+9a2（0＜a≤3）…（9分）
求導(dǎo)，b'=-9a2+18a=-9a（a-2）
當(dāng)a∈（0，2），b'＞0，b遞增；
當(dāng)a∈（2，3），b'＜0，b遞減a=2時，
∴bmax=12，又當(dāng)b=3時，b=0…（11分）
∴0≤b≤12為所求．…（12分）
分析：（1）求導(dǎo)，．由f'（x1）=f'（x2）=0，x1、x2是方程f'（x）=0的兩實根，由此能夠證明0＜a≤3．
（2）由x1＜x2且，知x1＜0＜x2|x1|+|x2|=-x1+x2=2．所以（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=4．由此能求出實數(shù)a的范圍．
點評：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)．定義：若對給定的實數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與y=f-1（ax）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=x2+1（x＞0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質(zhì)”．求y=f（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的圖象如圖所示，則方程f[g（x）]=0有且僅有
6
個根；方程f[f（x）]=0有且僅有
5
個根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（
1
2
，5）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
5
4
5
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
③若y=f（x）為偶函數(shù)，且y=f（2+x）=-f（x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④若y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x3+1．設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（-28）=
-3
-3
．

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