Question

設(shè)、A₂與B分別是橢圓E：的左右頂點(diǎn)與上定點(diǎn)，直線A₂B與
圓C：x²+y²=1相切．
（1）求證：；
（2）P是橢圓E上異于、A₂ 的一點(diǎn)，直線P、PA₂的斜率之積為﹣，求橢圓E的方程；
（3）直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵、A₂與B分別是橢圓E：的左右頂點(diǎn)與上定點(diǎn)，
∴（﹣a，0），A₂（a，0），B（0，b），
∴直線A₂B的方程是，
∵直線A₂B與圓C：x²+y²=1相切，
∴=1，
故．
（2）解：設(shè)P（，），則直線P，PA₂的斜率之積為：
===﹣，，
∵，
∴，
結(jié)合，得，
∴橢圓E的方程為．
（3）解：設(shè)點(diǎn)M（，），N（x₂，y₂），
①若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y=kx+m，
由y=kx+m代入，得，化簡，
得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²﹣a²b²=0（△＞0），
∴，y₂=（k+m）（kx²+m）=k²x₂+km（+x₂）+m²=+km（﹣）+m²=，
∵，
∴x₂+y₂=0．代入，得（a²+b²）m²﹣a²b²（1+k²）=0，
∵，
∴m²=1+k²，圓心到直線l的距離為d=，
所以，直線l與圓C相切．
②若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l：x=n，代入，得y=，
∴|n|=b，
∴a²n²=b²（a²﹣n²），
解得n=±1，
所以直線l與圓C相切．