Question

已知關(guān)于x的方程tan²x-tanx-a+1=0在[-

π

4

，

π

4

]內(nèi)恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先由x∈[-

π

4

，

π

4

]，得tanx∈[-1，1]；令t=tanx，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系得到

g(-1)≥0 g( 1 2 )＜0 g(1)≥0

解之即可求a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)閤∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴tanx∈[-1，1]．
令t=tanx，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為t=

1

2

．故須滿足

g(-1)≥0 g( 1 2 )＜0 g(1)≥0

?

3

4

＜a≤1．
故答案為：

3

4

＜a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．解決本題的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）=t²-t-a+1在[-1，1]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．