【題目】已知直線及圓
.
(1)求直線所過(guò)定點(diǎn);
(2)求直線被圓
截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線
的方程.
【答案】(1)直線l恒過(guò)點(diǎn)(2)最短弦長(zhǎng)為
,直線l的方程為
【解析】
(1)根據(jù)題意,將直線的方程變形可得
,將該方程看成是關(guān)于
的一次方程,令
的系數(shù)和常數(shù)部分為0,可得
的值,即可得答案;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)為
,根據(jù)題意,當(dāng)
時(shí),直線
被圓
所截得的弦長(zhǎng)最短,由直線垂直的斜率關(guān)系可得直線
的斜率,結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線
的方程,由弦長(zhǎng)公式求出最短弦的長(zhǎng)度即可得答案;
(1)證明:直線l化為,
因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn),
,
解得,
則直線所過(guò)定點(diǎn)為
;
(2)設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A、B,由(1)知l過(guò)定點(diǎn)在圓內(nèi),且與過(guò)此點(diǎn)的圓
的半徑垂直時(shí),
被圓所戴的弦長(zhǎng)
最短,
此時(shí)圓心到直線的距離為,
所以,即最短弦長(zhǎng)為
,
又,
則直線的斜率
,
則直線的方程為
,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABDC中,,
,
,
,
.
(1)若S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn),畫(huà)出平面SBD和平面SAC的交線,并說(shuō)明理由;
(2)直角梯形ABDC繞直線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體名稱(chēng)是什么?并求出其體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)
對(duì)應(yīng).
(1)若是關(guān)于
的一元二次方程
的一個(gè)虛根,且
,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件
(其中
、常數(shù)
),當(dāng)
為奇數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為
,當(dāng)
為偶數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為
,且兩條曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,求軌跡
與
的方程;
(3)在(2)的條件下,軌跡上存在點(diǎn)
,使點(diǎn)
與點(diǎn)
的最小距離不小于
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1:x+my+1=0和l2:(m-3)x-2y+(13-7m)=0.
(1)若l1⊥l2,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若l1∥l2,求l1與l2之間的距離d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中x>0,k為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)k≤0時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)k,存在(
),使得
在區(qū)間(
,
)上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若直線與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,圓C以線段AB為直徑.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)且圓心C到l的距離為1,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題:方程
表示焦點(diǎn)在
軸上的雙曲線:命題
:若存在
,使得
成立.
(1)如果命題是真命題,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)如果“”為假命題,“
”為真命題,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),
是函數(shù)
的圖象上任意兩點(diǎn),若
為
,
的中點(diǎn),且
的橫坐標(biāo)為
.
(1)求;
(2)若,
,求
;
(3)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式
(
,
),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,若不等式
對(duì)任意
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有
成立,記
.
(1)求數(shù)列與數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)求證:①對(duì)
恒成立.②
對(duì)
恒成立,其中
為數(shù)列
的前n項(xiàng)和.
(3)記,
為
的前n項(xiàng)和,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有
.
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