Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若函數(shù)存在極大值和極小值，求的取值范圍；

（2）設(shè)，分別為的極大值和極小值，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)存在極大值和極小值，故方程有兩個不等的正實數(shù)根，列出不等式組，即可求解的取值范圍；（2）由得，且．由（1）知存在極大值和極小值，設(shè)的兩根為，（），則在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以，，根據(jù)可把表示為關(guān)于的表達(dá)式，再借助的范圍即可求解的取值范圍．

試題解析：（1），其中

由于函數(shù)存在極大值和極小值，故方程有兩個不等的正實數(shù)根，

即有兩個不等的正實數(shù)根記為，，顯然

所以解得．

（2）由得，且．由（1）知存在極大值和極小值．

設(shè)的兩根為，（），則在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以，．

因為，所以，而且，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．

又由于（），所以（）．

所以

令，則，令

所以，

所以在上單調(diào)遞減，所以

由，知，所以，