Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出通項公式；
（II）設(shè)b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）證明：∵a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），∴ （n≥3）．
兩式相減可得a_n² -=S_n-s_n-2=a_n +a_n-1，∴a_n -a_n-1=1，
再由a₁=1，可得a_n=n．
（II）∵b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），
∴b_n+1=-a（1-a_n+1）．
即b_n=（1-n）²-a（1-n）=n²+（a-2）n+1-a，b_n+1=[1-（n+1）]²-a[1-（n+1）]=n²+an．
故b_n+1-b_n=2n+a-1，
再由b_n+1＞b_n對任意n∈N^*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值為1-2=-1，故a＞-1，
即實數(shù)a的取值范圍（-1，+∞）．
分析：（I）由 a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），可得 （n≥3）．兩式相減可得 a_n -a_n-1=1，再由a₁=1，可得{a_n}的通項公式．
（II）根據(jù){a_n}的通項公式化簡b_n和b_n+1，由題意可得b_n+1-b_n=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值為-1，從而求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列的通項公式，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．