已知函數(shù)

(1)證明函數(shù)的圖像關于點對稱;

(2)若,求;

(3)在(2)的條件下,若 ,為數(shù)列的前項和,若對一切都成立,試求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

(1)函數(shù)的定義域為,設、是函數(shù)圖像上的兩點, 其中,則有,因此函數(shù)圖像關于點對稱(2)(3)

【解析】

試題分析:(1) 證明:因為函數(shù)的定義域為, 設、是函數(shù)圖像上的兩點, 其中,

則有 

因此函數(shù)圖像關于點對稱                           4分

(2)由(1)知當時,

①     ②

①+②得                         8分

(3)當時,

時,,

時, =

 (

對一切都成立,即恒成立

恒成立,又設,所以上遞減,所以處取得最大值

,即

所以的取值范圍是                                12分

考點:函數(shù)對稱性,求最值與數(shù)列求和

點評:證明函數(shù)關于點對稱只需證明,第二問數(shù)列求和結合通項的特點采用倒序相加法,第三問將不等式恒成立轉化為求函數(shù)最值,進而可借助于導數(shù)求解

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
+
x2-1
的定義域是(  )
A、[-1,1]
B、{-1,1}
C、(-1,1)
D、(-∞,-1]∪[1,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(1-b)x+b,x<0
(b-3)x2+2,x≥0
,在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)b的范圍為( �。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
,g(x)=
lnx
x
,且函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)如果當x∈(0,1)時,t•g(x)≤f(x)恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
x+1
的定義域為集合A,集合B=(-2,+∞),則集合(CRA)∩B=( �。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

請考生注意:重點高中學生做(2)(3).一般高中學生只做(1)(2).
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)

(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)當a>0時,討論f(x)的單調性;
(3)當a=
3
4
時,設g(x)=x2-bx+1,若對任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.

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