Question

如圖，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°四邊形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且BC=PD，O是AD的中點，E，F(xiàn)是PC，OD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）證明：PF⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 取BP中點G，證明EG和OF平行且相等，故四邊形OFEG為平行四邊形，得到EF∥GO，從而證得 EF∥面PBO．
（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥PF，證明△OPD為正三角形可得PF⊥OD，進而證得 PF⊥平面ABCD．
解答：解：（Ⅰ）證明：取BP中點G，連EG，由E為PC中點，故EG∥BC，EG= BC，
又F為OD中點，∴OF∥BC，且 OF= BC，
∴EG和OF平行且相等，故四邊形OFEG為平行四邊形，∴EF∥GO．又GO?面PBO，
則EF∥面PBO．
（Ⅱ）∵四邊形ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，∴AB⊥AD．
又平面ABCD⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PF?平面PAD，∴AB⊥PF．
在Rt△APD中，O為AE的中點，BC=PD，AD=2BC，∴PO=OD=PD，即△OPD為正三角形，
又F為OD的中點，∴PF⊥OD，∴PF⊥平面ABCD．
點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，證明PF⊥OD，是解題的關鍵．