Question

某中學(xué)食堂定期從糧店以每噸1500元的價(jià)格購(gòu)買大米，每次購(gòu)進(jìn)大米需支付運(yùn)輸費(fèi)  100元．食堂每天需用大米l噸，貯存大米的費(fèi)用為每噸每天2元（不滿一天按一天計(jì)），假  定食堂每次均在用完大米的當(dāng)天購(gòu)買．
（1）該食堂隔多少天購(gòu)買一次大米，可使每天支付的總費(fèi)用最少？
（2）糧店提出價(jià)格優(yōu)惠條件：一次購(gòu)買量不少于20噸時(shí)，大米價(jià)格可享受九五折（即原價(jià)的95%），問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)每n天購(gòu)一次，即購(gòu)n噸，則庫(kù)存總費(fèi)用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．即可得到平均每天費(fèi)用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．
（2）若接受優(yōu)惠，每m天購(gòu)一次，即購(gòu)m噸（m≥20），則平均每天費(fèi)用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出其最小值．

解答：解：（1）設(shè)每n天購(gòu)一次，即購(gòu)n噸，則庫(kù)存總費(fèi)用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．
則平均每天費(fèi)用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500=n+

100

n

+1501≥1521．當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)取等號(hào)．
∴該食堂隔10天購(gòu)買一次大米，可使每天支付的總費(fèi)用最少．
（2）若接受優(yōu)惠，每m天購(gòu)一次，即購(gòu)m噸（m≥20），則平均每天費(fèi)用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95
=m+

100

m

+1426（m∈[20，+∞））．
令f（m）=m+

100

m

(m∈[20，+∞))．
則f′(m)=1-

100

m2

=

m2-100

m2

＞0，
故當(dāng)m∈[20，+∞）時(shí)，函數(shù)f（m）單調(diào)遞增，
故當(dāng)m=20時(shí)，（y₂）_min=1451＜1521．
∴食堂可接受此優(yōu)惠條件．

點(diǎn)評(píng)：正確審請(qǐng)題意，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得出表達(dá)式，熟練掌握基本不等式求最值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．