Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（3n+2）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），化為a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=（3n+2）a_n=（3n+2）•2^n-1，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），
∴3a_n=5a_n-4a_n-1，化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，通項公式an=2n-1．
（2）b_n=（3n+2）a_n=（3n+2）•2^n-1．
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=5+8×2+11×2²+…+（3n+2）×2^n-1，
2T_n=5×2+8×2²+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，
∴-T_n=5+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n+2）×2ⁿ=2+3×

2n-1

2-1

-（3n+2）×2ⁿ=3×2ⁿ-1-（3n+2）×2ⁿ=（1-3n）×2ⁿ-1，
∴T_n=（3n-1）×2ⁿ+1．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．