Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lna-ln（x+1）（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)底），函數(shù)y=f（x）在A（0，a）處的切線與y=g（x）在B（0，lna）處的切線互相垂直．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求證：對任意n∈N^*，f（n）+g（n）＞2n；
（Ⅲ） 設y=g（x-1）的圖象為C₁，h（x）=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數(shù)b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 構造函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-2x，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)即可證明對任意n∈N^*，f（n）+g（n）＞2n；
（Ⅲ） 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出對應切線斜率之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=ae^x，f′（0）=a，g′（x）=-

1

x+1

，g′（0）=-1，…（2分）
由已知a•（-1）=-1，∴a=1，
∴f（x）=e^x（x∈R），g（x）=-ln（x+1），（x＞-1）．…（4分）
（Ⅱ） 證明：令F（x）=f（x）+g（x）-2x=e^x-ln（x+1）-2x，（x≥1），
則F′（x）=e^x-

1

x+1

-2≥F′（1）=e-

5

2

＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上遞增，…（6分）
n∈N*?[1，+∞），
∴F（n）≥F（1）＞0，
即f（n）+g（n）＞2n．…（8分）
（Ⅲ） 答：不存在．
設P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），（0＜x₁＜x₂）則M、N的橫坐標都是

x1+x2

2

，
且-lnx₁=-x₁²+ax₁，-lnx₂=-x₂²+ax₂，
f′（x-1）=-

1

x

，h′（x）=-2x+a，
C₁在M處的切線斜率為k_M=-

2

x1+x2

，C₂在N處的切線斜率為k_N=-（ x₁+x₂）+a，
令k_M=k_N，得-

2

x1+x2

=-（ x₁+x₂）+a，…（10分）
-

2(x2-x1)

x1+x2

=-(

x

2 2

-

x

2 1

)+a（x₂-x₁）=（-

x

2 2

+ax2）-（-

x

2 1

+ax1）=-lnx₂+lnx₁=-ln

x2

x1

，
∴l(xiāng)n

x2

x1

-

2(x2-x1)

x1+x2

=0，
令 

x2

x1

＞1，得lnt-

2(t-1)

t+1

=0，…①…（12分）
設p（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，（t＞1），
p′（t）=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴p（t）=在區(qū)間（1，+∞）遞增，∴p（t）＞p（1）=0，與①矛盾，
∴不存在a，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行．…（14分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導數(shù)，綜合考查導數(shù)的應用．