Question

已知圓：x²+y²-4x-6y+12=0．
（1）求過點A（3，5）的圓的切線方程；
（2）點P（x，y）為圓上任意一點，求

y

x

的最值．

Answer 1

分析：（1）先化成圓的標準方程求出圓心和半徑，然后對過點A分斜率存在和不存在兩種情況進行討論．當斜率存在時根據圓心到直線的距離等于半徑求出k的值，進而可得到切線方程．
（2）設

y

x

=k得到y(tǒng)=kx，然后轉化為求滿足條件的直線斜率的最值問題，又有當直線與圓相切時可取得最大與最小值，從而可得到答案．

解答：解：（1）由x²+y²-4x-6y+12=0可得到（x-2）²+（y-3）²=1，故圓心坐標為（2，3）
過點A（3，5）且斜率不存在的方程為x=3
圓心到x=3的距離等于d=1=r
故x=3是圓x²+y²-4x-6y+12=0的一條切線；
過點A且斜率存在時的直線為：y-5=k（x-3），即：y-kx+3k-5=0，根據圓心到切線的距離為半徑，可得到：
r=1=

|3-2k+3k-5|

1+k2

化簡可得到：
（k-2）²=1+k²∴k=

3

4

．
所以切線方程為：4y-3x-11=0．
過點A（3，5）的圓的切線方程為：4y-3x-11=0，x=3
（2）由題意知點P（x，y）為圓上任意一點，故可設

y

x

=k，即要求k的最大值與最小值
即y=kx中的k的最大值與最小值
易知當直線y=kx與圓相切時可取得最大與最小值，此時
d=1=

|2k-3|

1+k2

，整理可得到：3k²-12k+8=0
得到k=

6+2 3

3

或

6-2 3

3

∴

y

x

的最大值為

6+2 3

3

，最小值為

6-2 3

3

點評：本題主要考查圓的切線方程、定點到圓的距離的最值問題．考查基礎知識的綜合運用和計算能力．