Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)奇偶性并給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)奇偶性；
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
（2）函數(shù)為奇函數(shù)，∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，
∴f（-x）=log₂

1-x

1+x

=f（x）=log₂（

1+x

1-x

）^-1=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)t=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

．
則當(dāng)-1＜x＜1時，函數(shù)t=

1+x

1-x

單調(diào)遞增，而函數(shù)y=log₂t單調(diào)遞增．
則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知此時函數(shù)f（x）=log₂

1+x

1-x

單調(diào)遞增，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的定義域，奇偶性和單調(diào)性的判斷．