Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，動(dòng)點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，記所有滿足條件的點(diǎn)P形成的幾何圖形為曲線M．
（1）寫出曲線M所對(duì)應(yīng)的方程；（不需要解答過程）
（2）過點(diǎn)S（0，2）的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，與曲線M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AB=2EF，求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)T（x₀，y₀）．
①當(dāng)y₀=0時(shí)，若過點(diǎn)T存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)x₀的取值范圍；
②若過點(diǎn)T存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，試探求實(shí)數(shù)x₀，y₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由于過點(diǎn)P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，所以滿足條件的點(diǎn)P形成的幾何圖形是以O(shè)為圓心，

3

為半徑的圓，從而可求曲線M所對(duì)應(yīng)的方程；
（2）分類討論：當(dāng)斜率不存在時(shí)，結(jié)論不成立；當(dāng)斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程為y=kx+2，利用圓心到直線的距離，結(jié)合AB=2EF，可求直線l的方程；
（3）①假設(shè)存在，要使存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，則由圓心到直線的距離小于半徑，故可建立不等關(guān)系，從而可求；②根據(jù)①的探究方法，結(jié)合圖形，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，∵過點(diǎn)P作直線與圓C相交所得的所有弦中，弦長最小的為2，
∴滿足條件的點(diǎn)P形成的幾何圖形是以O(shè)為圓心，

3

為半徑的圓
∴曲線M所對(duì)應(yīng)的方程為：x²+y²=3
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，結(jié)論不成立
當(dāng)斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程為y=kx+2，圓心到直線的距離為

2

k2+1

由題意AB=2EF，∴4-

4

k2+1

=4×(3-

4

k2+1

)，
∴k=±

2

2

∴直線l的方程為y=±

2

2

x+2；
（3）①不妨假設(shè)一條直線方程為y=k（x-x₀）（k＞0），則另一條直線方程為y=-

1

k

(x-x0)
要使存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，則由圓心到直線的距離小于半徑
∴-2

k2+1 k2

＜x0＜2

k2+1 k2

，-2

k2+1

＜x0＜2

k2+1

∴-2＜x₀＜2
②不妨假設(shè)一條直線方程為y-y₀=k（x-x₀）（k＞0），則另一條直線方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)
要使存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，則由圓心到直線的距離小于半徑
由①探求可知，點(diǎn)T必須在圓的內(nèi)部，此時(shí)才能始終存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)
∴x₀²+y₀²＜4

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓的方程的應(yīng)用，主要考查求解直線與圓的方程，解題時(shí)應(yīng)主要分類討論，否則會(huì)漏解．