Question

函數(shù)f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

，函數(shù)g（x）=mcos（2x-

π

6

）-

3

2

m+2（m＞0），若對任意x₁∈[0，

π

4

]，總存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由x₁∈[0，

π

4

]，x₂∈[0，

π

4

]，可求得f（x）∈[1，2]，g（x）∈[-m+2，-

1

2

m+2]，進(jìn)而由對任意x₁∈[0，

π

4

]，總存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到關(guān)于m的不等式組，解之可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
當(dāng)x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2sin（2x+

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，2]，
對于g（x）=mcos（2x-

π

6

）-

3

2

m+2（m＞0），2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
mcos（2x-

π

6

）∈[

m

2

，m]，
∴g（x）∈[-m+2，-

1

2

m+2]，
若對任意x₁∈[0，

π

4

]，總存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
則-m+2≥1，-

1

2

m+2≤2，
解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是：[0，1]，
故答案為：[0，1]

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查二倍角的余弦，解決問題的關(guān)鍵是理解對任意x₁∈[0，

π

4

]，總存在x₂∈[0，

π

4

]，使得g（x₁）=f（x₂）成立的含義，屬于難題．