Question

已知3^a+13^b=17^a，5^a+7^b=11^b，試判斷a、b的大小并證明．

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：不等式

分析：利用反證法證明，先假設a≥b，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性，得出a＜1＜b，這與假設相矛盾，問題得以證明

解答： 解：假設a≥b，則13^a≥13^b，5^a≥5^b，
由3^a+13^b=17^a得3^a+13^a≥17^a，
即(

3

17

)a+(

13

17

)a≥1，
由f（x）=(

3

17

)x+(

13

17

)x單調遞減，
∴f（1）=

3

17

+

13

17

=

16

17

＜1，且f（a）≥1＞f（1），
則a＜1，
由5^a+7^b=11^b，得5^b+7^b≤11^b，
即(

5

11

)b+(

7

11

)b≤1，
由g（x）=(

5

11

)x+(

7

11

)x單調遞減，
∴g（1）=

5

11

+

7

11

=

12

11

＞1，且g（a）≤1＜g（1），
則b＞1，
因此a＜1＜b，這與假設相矛盾，
故假設不成立，
故a＜b．

點評：本題主要考查了反證法，關鍵是利用反證法的步驟，找到與假設相矛盾的問題，屬于難題