Question

直角梯形的一個內(nèi)角為45°，下底長為上底長的

3

2

，這個梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積是（5+

2

）π，求這個旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：畫出旋轉(zhuǎn)前的圖形，判斷構(gòu)成組合幾何體的簡單幾何體的特征，求出相應(yīng)的幾何量，即可求解整體的體積．

解答： 解：如圖，梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，繞AB邊旋轉(zhuǎn)一周后形成一圓柱和一圓錐的組合體．
設(shè)CD=x，AB=

3

2

x
AD=AB-CD=

x

2

，BC=

2 x

2

，
S_全面積=S_圓柱底+S_{圓柱側(cè)}+S_{圓錐側(cè)}
=πAD²+2πAD•CD+π•AD•BC
=π•

x2

4

+2π•

x

2

•x+π•

x

2

•

2 x

2

=

3+ 2

4

πx2
根據(jù)題設(shè)

3+ 2

4

πx2=(5+

2

)π，
∴x=2，
∴旋轉(zhuǎn)體體積
V=π•AD2•CD+

π

3

AD2•(AB-CD)
=π•12•2+

π

3

•12•(3-2)
=

7

3

π

點評：本題考查組合體的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．