Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx （k＞0）有且僅有五個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，
證明：

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

1+α

2α

．

Answer 1

分析：f（x）的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示，且在（π，

3

2

π）內(nèi)相切，其切點(diǎn)為
A（α，-sinα），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出：-cosα=

-sinα

α

，可得α=tanα，再化簡欲證等式的左邊，即可得出結(jié)論．

解答：證明：函數(shù)f（x）=sinx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y=kx過原點(diǎn)，
所以f（x）=sinx的圖象與直線y=kx（k＞0）在[0，+∞）上有三個(gè)公共點(diǎn)如圖所示，
且在（π，

3π

2

）內(nèi)相切，其切點(diǎn)為A（α，-sinα），
α∈（π，

3π

2

）．  …（5分）
由于f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

），所以，-cosα=-

sinα

α

，即 α=tanα．  …（8分）
因此，

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

cos2α-sin 2

2sinαcosα-2sin2α

=

1-tan2α

2tanα-2tan2α

=

1-a2

2a-2a2

=

1+a

2a

=右邊，
故等式成立． …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．