Question

（00全國卷）（12分）

如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且=

（I）證明：⊥BD；

    （II）當的值為多少時，能使平面？請給出證明

 

Answer 1

解析：（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié)

 

∵ 四邊形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，                                      ――3分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面

又 平面，

∴ BD                                      ――6分

（II）當時，能使⊥平面

證明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=

∴ 三棱錐C- 是正三棱錐                     ――9分

設(shè)與相交于G

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1

又 是正三角形的BD邊上的高和中線，

∴ 點G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面

即 ⊥平面                           ――12分

證明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥                ――9分

當 時 ，平行六面體的六個面是全等的菱形，

同BD⊥的證法可得⊥

又 BD∩=B，

∴⊥平面                             ――12分